\section{标准正交基}

\begin{frame}{正交向量组}

  \begin{definition}
    欧氏空间 $V$ 中一组非零的向量， 如果它们两两正交， 就称为一\emph{正交向量组}。
\end{definition}
\pause
应该指出， 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。 当然， 以下讨论的正交向量组都是非空的。

\pause
\begin{lemma}
正交向量组是线性无关的。 
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
  设正交向量组 $S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m})$ 有一线性关系$\sum_{j=1}^m k_j \alpha_j=0$.
  %\[
  % k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{m}  \alpha_{m}=\symbf{0} .
  %\]
 用 $ \alpha_{i}$ 与等式两边作内积， 即得
  \[
   k_{i}\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{i}}=0 .
  \]
 由 $ \alpha_{i} \neq \symbf{0}$, 有 $\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{i}}>0$, 从而 $k_{i}=0$ ($i=1,2, \cdots, m$). 这就证明了 $S$线性无关。
  \end{proof}

  \pause
  这个结果说明， 在 $n$ 维欧氏空间中， 两两正交的非零向量不能超过 $n$ 个。 这个事实的几何意义是清楚的。 例如， 在平面上找不到 $3$ 个两两垂直的非零向量; 在$3$维空间中， 找不到 $4$ 个两两垂直的非零向量。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  考虑定义在实轴上的实值函数构成的实向量空间。
  那么对任意的正整数$n$, 
  \[
    1, \sin x, \cos x, \cdots, \sin nx, \cos nx.
  \]
  是线性无关的。
  实际上，它们作为$[-\pi, \pi]$上的函数是正交的（在内积$\pair{f,g}=\int_{-\pi}^\pi fg$下）。
  \end{example}

\begin{exercise}[Parseval等式]
  设$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$是欧氏空间$V$的一组标准正交基，证明：
对任意的$\alpha\in V$有
  \[
    \sum_{i=1}^n \pair{\alpha, \varepsilon_i}^2= \norm{\alpha}^2.
  \]
\end{exercise}

  \begin{exercise}[Bessel不等式]
    设$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_k$是 (不必有限维的) 欧氏空间$V$中一组两两正交的单位向量。
  证明：对任意的$\alpha\in V$有
  \[
    \sum_{i=1}^k \pair{\alpha, \varepsilon_i}^2\leqslant \norm{\alpha}^2.
  \]
\end{exercise}


\end{frame}


\begin{frame}{标准正交基}

从解析几何中看到， 直角坐标系在图形度量性质的讨论中有特殊的地位。 在欧氏空间中，情况是相仿的。

\pause
\begin{definition}
  在 $n$ 维欧氏空间中， 由 $n$ 个向量组成的正交向量组称为\emph{正交基}; 由单位向量组成的正交基称为\emph{标准正交基}或\emph{规范正交基}。
\end{definition}
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基。

\pause
\begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item 一组基为标准正交基当且仅当它的度量矩阵为单位矩阵。
    \item 有限维欧氏空间中标准正交基总存在。
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
\begin{enumerate}
  \item 
设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是一组标准正交基，由定义，有
\(%\tag{1}
  \pair{ \varepsilon_{i},   \varepsilon_{j}}= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j
  \end{cases}.
\)
显然， 此式完全刻画了标准正交基的性质。
换句话说，一组基为标准正交基当且仅当它的度量矩阵为单位矩阵。

\item 
  任一组基的度量矩阵是正定的， 而正定矩阵合同于单位矩阵，
这说明在有限维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵。
\pause
由 (1) 知此基就是一个标准正交基。
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}%{标准正交基下的坐标与内积}


  \begin{enumerate}
    \item 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
\[\tag{2}
   \alpha=\pair{\varepsilon_{1},   \alpha} \varepsilon_{1}+\pair{\varepsilon_{2},   \alpha} \varepsilon_{2}+\cdots+\pair{\varepsilon_{n},   \alpha} \varepsilon_{n}.
   \]
   \pause
   事实上，设
   \[
  \alpha=x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n} .
  \]
  \pause
  用 $ \varepsilon_{i}$ 与等式两边作内积，即得
  \[
x_{i}=\pair{ \varepsilon_{i},   \alpha}, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

\pause
\item 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式。设
\[
 \alpha=x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n}, \quad  \beta=y_{1}  \varepsilon_{1}+y_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+y_{n}  \varepsilon_{n} .
 \]
 \pause
 那么
 \[\tag{3}
   \pair{ \alpha,  \beta}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}= X^{\mathrm{T}}  Y =X\cdot Y.
   \]
   \pause
   这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广。

   \pause
   应该指出，内积的表达式 (3),对于任一组标准正交基都是一样的。这就说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位。在下一节，这一点将得到进一步的说明。
   \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Gram-Schmidt正交化}%{正交向量组可扩充为正交基}
  下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。

\begin{theorem}
$n$ 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
  设 $S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m})$ 是一正交向量组。
\pause
  若$m=n$, 那么$S$已然一组正交基。
\pause
  否则，存在向量$\beta\notin \Span S$, 从而$(S, \beta)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$线性无关。
  \pause
  我们来看看如何在$(S,\beta)$的线性组合中（即在$\Span(S,\beta)$中）寻找到$\beta$的替代者才能得到正交的向量组。
  \pause
  令
  %\[\tag{$*$}
  $
    \beta'=\beta+\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i.
  $ 
%\]
  \pause
  若$\pair{\beta', \alpha_i}=0$, 那么对上式两边用$\alpha_i$做内积可得
  $
  0=\pair{\beta, \alpha_i}+c_i \pair{\alpha_i, \alpha_i},
  $
  \pause
  这样
  \[
    c_i=-\frac{\pair{\beta,\alpha_i}}{\pair{\alpha_i, \alpha_i}}.
  \]
  \pause
  由此可知，我们只用取
  \[
    \beta'=\beta-\sum_{i=1}^m \frac{\pair{\beta,\alpha_i}}{\pair{\alpha_i,\alpha_i}}\alpha_i,
  \]
  那么$\beta'\neq 0$, 且显然$(S,\beta')$是正交的。
\pause
  接着用$(S,\beta')$替换$S$做类似的讨论。
\pause
  %由于所给空间有限维且正交的向量组线性无关，
  \pause
  %我们的操作有限步后终止，
  当我们的向量组中包含$n$个向量时，我们的操作终止了，此时我们得到的就是一组正交基。
%设 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m}$ 是一正交向量组，我们对 $n-m$ 作数学归纳法。
%
%当 $n-m=0$ 时， $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m}$ 就是一组正交基了。
%
%假设 $n-m=k$ 时定理成立，也就是说，可以找到向量 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{k}$, 使得
%\[
% \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m},  \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{k}
%\]
%成为一组正交基。
%
%现在来看 $n-m=k+1$ 的情形。 因为 $m<n$, 所以一定有向量 $ \beta$ 不能被 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m}$ 线性表出，作向量
%\[
% \alpha_{m+1}= \beta-k_{1}  \alpha_{1}-k_{2}  \alpha_{2}-\cdots-k_{m}  \alpha_{m},
%\]
%其中 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m}$ 是待定的系数。 用 $ \alpha_{i}$ 与 $ \alpha_{m+1}$ 作内积， 得
%\[
%\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{m+1}}=\pair{ \beta,   \alpha_{i}}-k_{i}\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{i}}, \quad i=1,2, \cdots, m,
%\]
%取
%\[
%k_{i}=\frac{\pair{ \beta,   \alpha_{i}}}{\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{i}}}, \quad i=1,2, \cdots, m
%\]
%有
%\[
%\pair{ \alpha_{i},   \alpha_{m+1}}=0, \quad i=1,2, \cdots, m .
%\]
%由 $ \beta$ 的选择可知， $ \alpha_{m+1} \neq \symbf{0}$. 因此 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m},  \alpha_{m+1}$ 是一正交向量组，根据归纳法假定， $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{m},  \alpha_{m+1}$ 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法。如
果我们从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基。再规范化，就得到一组规范正交基。

\pause
在求欧氏空间的正交基时，常常是已有了空间的一组基。 对于这种情形，有以下结果：
\begin{theorem}
对于 $n$ 维欧氏空间中任意一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 都可以找到一组标准正交基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$, 使得
\[
L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{i}\right)=L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, n .
\]
\end{theorem}

\pause
应该指出，定理中的要求
\[
L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{i}\right)=L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, n
\]
相当于由基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 到基 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 的过渡矩阵是上三角形的。

\pause
\begin{sizheng}
规范正交基计算起来十分方便。这实际上就是直角坐标系的观念。可引申为“欲知平直，则必准绳；欲知方圆，则必规矩”。
\end{sizheng}
\end{frame}


\begin{frame}


\begin{proof}
设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是一组基，我们来逐个地求出向量 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$.
\pause
首先， 可取 $ \eta_{1}=\frac{1}{\left|\varepsilon_{1}\right|} \varepsilon_{1}$, 一般地， 假定已经求出 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{m}$, 它们是单位正交的，具有性质
\[
L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{i}\right)=L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{i}\right), \quad i=1,2, \cdots, m .
\]
\pause
下一步求 $ \eta_{m+1}$.
\pause
因为 $L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{m}\right)=L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{m}\right)$, 所以 $ \varepsilon_{m+1}$ 不能被 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{m}$ 线性表出。
\pause
按之前的定理的证明中的方法，作向量
\[
   \xi_{m+1}= \varepsilon_{m+1}-\sum_{i=1}^{m}\pair{ \varepsilon_{m+1},   \eta_{i}}  \eta_{i}
\]
\pause
显然 $ \xi_{m+1} \neq \symbf{0}$,且
\[
\pair{ \xi_{m+1},   \eta_{i}}=0, \quad i=1,2, \cdots, m .
\]
\pause
令
\[
 \eta_{m+1}=\frac{ \xi_{m+1}}{\left| \xi_{m+1}\right|} .
\]
$ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{m},  \eta_{m+1}$ 就是一单位正交向量组。 同时
\[
L\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{m+1}\right)=L\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{m+1}\right) .
\]
\pause
由归纳法原理，定理得证。
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}

  定理中把一组线性无关的向量变成一规范正交向量组的方法在称做\emph{格拉姆-施密特 (Gram-Schmidt) 正交化过程}。

~

\pause
上面的计算过程实际上就是
\[
  \begin{aligned}
     \xi_{1}&=  \varepsilon_{1}, \\
     \xi_{2}&=  \varepsilon_{2}-\frac{\pair{ \varepsilon_{2},
     \xi_{1}}}{\pair{ \xi_{1},   \xi_{1}}}  \xi_{1},\\
    & \vdots \\
     \xi_{m+1}&=  \varepsilon_{m+1}-\frac{\pair{ \varepsilon_{m+1},   \xi_{1}}}{\pair{ \xi_{1},   \xi_{1}}}  \xi_{1}-\cdots-\frac{\pair{ \varepsilon_{m+1},   \xi_{m}}}{\pair{ \xi_{m},   \xi_{m}}}  \xi_{m}, \quad
m=1,2, \cdots, n-1
\end{aligned}
\]
\pause
再单位化
\[
 \eta_{i}=\frac{ \xi_{i}}{\left| \xi_{i}\right|}, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]

  \begin{example}\label{0E8}
  我们来通过Gram-Schmidt正交化过程把
  \[
   \alpha_{1}=(1,1,0,0),\quad
   \alpha_{2}=(1,0,1,0), \quad
   \alpha_{3}=(-1,0,0,1),\quad
   \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)
\]
变成单位正交向量组。
\end{example}

\end{frame}
\begin{frame}

  \begin{solution}
    先把$\alpha_1,  \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 正交化，得
\[
  \begin{aligned}
   \beta_{1}&=  \alpha_{1}=(1,1,0,0), \\
   \beta_{2}&=  \alpha_{2}-\frac{\pair{ \alpha_{2},   \beta_{1}}}{\pair{ \beta_{1},   \beta_{1}}}  \beta_{1}=\frac{1}{2}\left(1,-1,2,0\right), \\
   \beta_{3}&=  \alpha_{3}-\frac{\pair{ \alpha_{3},   \beta_{1}}}{\pair{ \beta_{1},   \beta_{1}}}  \beta_{1}-\frac{\pair{ \alpha_{3},   \beta_{2}}}{\pair{ \beta_{2},   \beta_{2}}}  \beta_{2}=\frac{1}{3} \left(-1,1,1,3\right), \\
 \beta_{4}&=  \alpha_{4}-\frac{\pair{ \alpha_{4},   \beta_{1}}}{\pair{ \beta_{1},   \beta_{1}}}  \beta_{1}-\frac{\pair{ \alpha_{4},   \beta_{2}}}{\pair{ \beta_{2},   \beta_{2}}}  \beta_{2}-\frac{\pair{ \alpha_{4},   \beta_{3}}}{\pair{ \beta_{3},   \beta_{3}}}  \beta_{3}=(1,-1,-1,1) .
\end{aligned}
\]
再单位化， 得
\[
  \begin{aligned}
     \eta_{1}&= \frac{\beta_1}{|\beta_1|} =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0,0), \\
     \eta_{2}&= \frac{\beta_2}{|\beta_2|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2,0), \\
     \eta_{3}&= \frac{\beta_3}{|\beta_3|}=\frac{1}{\sqrt{12}}(-1, 1, 1, 3),\\
     \eta_{4}&= \frac{\beta_4}{|\beta_4|}=\frac{1}{2}(1,-1,-1,1).
\end{aligned}
\]
$\eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4$即为所要求。
\end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{remark}
  容易发现把$\beta_i$替换为其正数倍不影响后面的$\beta_j$的值，也不影响$\eta_i$的值，因为对正实数$c$有
  \[
    \frac{\pair{\alpha, c\beta_i}}{\pair{c\beta_i,c\beta_i}}c\beta_i=\frac{\pair{\alpha, \beta_i}}{\pair{\beta_i,\beta_i}}\beta_i,\quad
    \frac{c\beta_i}{|c\beta_i|}=\frac{\beta_i}{|\beta_i|}.
\]
  因此正交化过程中算出一个$\beta_i$后可以通分去分母；这可以为手算带来一点点便利。
  比如在上例中我们算出$\beta_2$后，可以把$\beta_2$替换为$2\beta_2=(1,-1,2,0)$再接着计算。
  同样地，算出$\beta_3$后，可以把$\beta_3$替换为$3\beta_3=(-1,1,1,3)$再接着计算。
\end{remark}

%\begin{exercise}
%随手写几个向量，让学生做Gram-Schmidt 正交化过程。
%\end{exercise}
\end{frame}


\begin{frame}{正交矩阵}
上面讨论了标准正交基的求法。由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。

~

\pause
设$\symbb{B}, \symbb{B}'$是欧氏空间$V$中的两组标准正交基，且$\symbb{B}$到$\symbb{B}'$的过渡矩阵是$A$, 即$\symbb{B}'=\symbb{B} A$.
\pause
既然$\symbb{B}$的度量矩阵为$E$, 我们知道$\symbb{B}'$的度量矩阵可表示为
  $A^{\rT} E A=A^{\rT} A.$
\pause
$\symbb{B}'$是标准正交基表明
  $A^{\rT} A=E. $
\pause
于是，我们引入
\begin{definition}
  $n$ 阶实矩阵 $ A$ 称为\emph{正交矩阵}， 如果 $ A^{\mathrm{T}}  A= E$.
\end{definition}

\pause
因此， 以上分析表明， 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。
\pause
不仅如此，如果$\symbb{B}$是标准正交基，那么$V$的标准正交基都形如$\symbb{B} A$, 其中$A$是任一正交矩阵。
这样，标准正交基之间的过渡矩阵恰好是正交矩阵。


\pause
我们有下面这些显而易见的正交矩阵的性质。
\pause
\begin{lemma}\label{182}
\begin{enumerate}
  \item  正交矩阵的行列式等于 $1$ 或者 $-1$. 
    \pause
  \item 正交矩阵可逆，且逆矩阵也是正交矩阵。
    \pause
  \item 正交矩阵的乘积还是正交矩阵。
\end{enumerate}
\end{lemma}

\end{frame}


\begin{frame}
  %%% 上课时只用说列向量组标准正交即可，只用知道这个就够用了
  令$A\in \symbf{R}^{n\times n}$. 
$A^{\rT} A= E$ 当且仅当 $A^{-1}=A^{\rT}$ 当且仅当 $AA^{\rT} =E$. 
设$A$按行和按列分别分块为
  \[
    A=\begin{pmatrix}
    \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m
  \end{pmatrix},\quad 
  A=\begin{pmatrix}
    \beta_1 & \cdots & \beta_n
  \end{pmatrix}.
\]
\pause
那么$A A^{\rT}=E$和$A^{\rT} A=E$分别相当于
\[
  \begin{aligned}
    \alpha_i\cdot \alpha_j=\alpha_i \alpha_j^{\rT} &= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j ;\end{cases} \\
    \beta_i \cdot \beta_j=\beta_i^{\rT} \beta_j &= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j .\end{cases}
  \end{aligned}
\]
\pause
因此$A\in \symbf{R}^{n\times n}$是正交矩阵也相当于说$A$的行向量组在$\symbf{R}^n$的标准内积（即点积）下是标准正交的，亦相当于说
$A$的列向量组在$\symbf{R}^{(n)}$的标准内积（即点积）下是标准正交的。

\begin{exercise}
  随手写出几个二三阶的正交矩阵，如单位化几个正交向量，再如旋转矩阵。例如：
  \[
    \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
     4 & 3\\
     -3 & 4
   \end{pmatrix},\quad 
   \begin{pmatrix}
     \cos\theta  & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta
   \end{pmatrix},\quad
  \begin{pmatrix}
     \cos\theta  & -\sin \theta & \\ \sin \theta & \cos \theta & \\
     & & 1
   \end{pmatrix},\quad
   \frac{1}{3}
   \begin{pmatrix}
      1 & 2 & 2 \\
      2 & 1 & -2 \\
      2 & -2 & 1
    \end{pmatrix}.
  \]
\end{exercise}
\end{frame}


\iffalse
\begin{frame}{正交矩阵}
上面讨论了标准正交基的求法。由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。

\pause
设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 与 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是欧氏空间 $V$ 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是
\[
 A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n},
\]
即
\[
  \left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)=\left( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)A.
 % \left(\begin{array}{cccc}
  %  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
  %a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
%\end{array}\right) .
\]
\pause
因为 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 是标准正交基，所以
\[\tag{4}
\pair{ \eta_{i},   \eta_{j}}= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j .\end{cases}
\]
\pause
矩阵 $ A$ 的各列就是 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 在标准正交基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 下的坐标。 
\pause
按公式 (3), (4)式可以表示为
\[\tag{5}
a_{1 i} a_{1 j}+a_{2 i} a_{2 j}+\cdots+a_{n i} a_{n j}= \begin{cases}1, & i=j, \\ 0, & i \neq j .\end{cases}
\]
\pause
(5)式相当于一个矩阵的等式
\[
 A^{\mathrm{T}}  A= E,
\]
\pause
或者
\[\tag{6}
A^{-1}=A^{\mathrm{T}} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
我们引入
\begin{definition}
  $n$ 阶实矩阵 $ A$ 称为\emph{正交矩阵}， 如果 $ A^{\mathrm{T}}  A= E$.
\end{definition}

\pause
因此， 以上分析表明， 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 
\pause
反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。

~

\pause
最后我们指出， 根据逆矩阵的性质， 由
\[
A^{\rT} A=E
\]
即得
\[
   A  A^{\rT}= E.
\]
\pause
写出来就是
\[\tag{7}
a_{i 1} a_{j 1}+a_{i 2} a_{j 2}+\cdots+a_{i n} a_{j n}= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j\end{cases}
\]
\pause
(5) 式是矩阵列与列之间的关系， (7) 式是行与行之间的关系，这两组关系是等价的。
\end{frame}
\fi


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为正交的向量组？正交的向量组有何性质？
    \item 举例正交的向量组。
    \item 何为标准正交基？其度量矩阵如何？为何有限维欧氏空间中标准正交基总存在？
    \item 标准正交基下内积可如何用坐标表示？
    \item 如何把正交的向量组扩充为正交基？
    \item 说说Gram-Schmidt正交化过程。
    \item 何为正交矩阵？为何引入正交矩阵？
    \item 正交矩阵有哪些性质？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
